¿Qué es la rigidez de un elemento estructural?

Hablando en términos generales, la rigidez es la relación entre fuerza aplicada y desplazamiento producido en una estructura. La carga puede actuar concentrada en un determinado punto, o distribuida en una superficie o línea, mientras que el movimiento analizado no tiene por qué darse en el mismo punto de aplicación de la fuerza. Asimismo, por “fuerza” y “desplazamiento” se entiende acción y movimiento, cada uno en el grado de libertad relevante: la fuerza puede ser un momento o una presión, y el desplazamiento puede ser un giro. Todo depende de qué relación se desea analizar entre estímulo y respuesta.

La rigidez tiene como finalidad condensar en una sola magnitud el comportamiento de un elemento estructural: a tal solicitación le corresponde tal desplazamiento en tal punto, siempre bajo la óptica de la elasticidad lineal.

En el caso de acodalamientos, es necesario incorporar la rigidez de los codales en el diseño de la contención, ya sea un muro corrido o una pantalla de pilotes o micropilotes. Precisamente el adecuado estudio de interacción entre terreno, muro y acodalamiento es lo que permite estimar con el rigor debido la carga en los codales, así como los movimientos y esfuerzos en el muro. Un análisis conjunto es lo correcto en el diseño de muros acodalados y debería acometerse, ya en fase de proyecto, con valores cabales de rigidez de los codales apoyándose en información de los sistemas comerciales (ya sean elementos modulares o a base de perfilería ex profeso). Tal enfoque suele requerir una aproximación iterativa pero productiva. Es incorrecto, por ejemplo, asignar un valor altísimo a la rigidez de los codales pensando que así se induce un punto fijo virtual en el muro, para luego descubrir que tal rigidez es material y económicamente inalcanzable. Planteamientos con tal vicio de partida pueden servir para economizar el diseño de la estructura definitiva (el muro) y falsear su aptitud estructural sobre el papel, mientras que se transfiere al acodalamiento la responsabilidad inviable de aportar una rigidez elevadísima que garantice tal cumplimiento. Una vez se pasa a la fase de obra, pueden surgir disensiones entre propiedad, proyectista y contratista (e incluso titulares de infraestructuras cercanas) cuando se verifica que acodalamientos infinitamente rígidos no son factibles y que, tras un recálculo adaptado a valores habituales de rigidez, la pantalla puede requerir mayor grosor o armadura. Las potenciales consecuencias: pérdida de espacio útil en el sótano, mayor desembolso en hormigón o ferralla, incremento de costes de ingeniería y tiempo perdido dirimiendo responsabilidades.

Asimismo, la presencia de elementos sensibles a las deformaciones cerca del muro acodalado (cimentaciones, túneles o depósitos de líquidos, por ejemplo) exige un análisis riguroso que permita prever los movimientos, esfuerzos y riesgo de fisuración, con el fin de adoptar las medidas preventivas oportunas en coordinación con el propietario del bien anexo.

Esta nota sirve para explicar el concepto de rigidez de un codal, su incorporación (y prevenciones) en los modelos habituales de diseño de muros y la información útil que puede extraerse tanto en el diseño de los codales como del muro.

Rigidez de un codal en perpendicular al muro

En los programas más comunes de análisis de contención de excavaciones es necesario especificar el valor de la rigidez de los codales medida en perpendicular al muro. Es decir, qué fuerza hay que aplicar al codal para conseguir un movimiento unitario, todo ello medido según la normal al muro.

Es importante resaltar que la deformación relevante del codal no es su acortamiento axial, sino el desplazamiento normal al muro, puesto que este movimiento es el que interesa controlar topográficamente y dichos programas siempre suponen que el codal es normal al muro. Esta distinción cobra especial importancia a medida que el codal se aleja de la perpendicular al muro. Resulta intuitivo que un codal casi paralelo a la pantalla apenas aporta rigidez para contener el movimiento del muro.

Sea un codal de sección resistente A, módulo de elasticidad E y longitud eficaz L que forma un ángulo a con el muro. La rigidez del codal medida en perpendicular al muro es:

Adviértase que por longitud eficaz se entiende la distancia entre el anclaje del codal al muro y su punto de movimiento neutro (nulo). Si ambos extremos del codal están conectados a muros de contención susceptibles de moverse (en perpendicular a sus paramentos), puede admitirse que la longitud eficaz es igual a la mitad de la geométrica. Si el codal tiene un extremo anclado a una solera o zapata u otro elemento considerado un punto fijo, entonces la longitud eficaz es igual a la real.

La siguiente imagen ilustra uno de los distintos métodos para llegar a la fórmula anterior.

Las unidades de esta rigidez son de fuerza dividido por longitud (por ejemplo, kN/mm). Es decir, carga normal al muro necesaria para que el codal se acorte un milímetro en perpendicular a la pantalla.

Aplicación a modelos de cálculo bidimensionales

La fórmula anterior proporciona una rigidez concentrada, propia de un elemento aislado, el codal, convertido en un muelle equivalente. En programas comerciales de análisis de pantallas es habitual modelizar una rebanada de pantalla abarcando un metro, por lo cual es preciso dar un valor de rigidez distribuida, fruto de dividir la rigidez del codal entre su ancho tributario (aproximadamente, semisuma de las separaciones a codales adyacentes). Otra forma de dar la rigidez promedio es sumar las rigideces de todos los codales que atacan a un tramo uniforme de muro y dividir dicha suma de rigideces entre la longitud del tramo. Otros programas permiten definir la rigidez concentrada del codal y especificar su ancho tributario, para efectuar internamente la división. En cualquier caso, las unidades de esta rigidez por metro lineal de muro son de fuerza dividido por unidad de longitud al cuadrado (por ejemplo, kN/mm/m; o sea, fuerza distribuida actuando sobre un metro de muro necesaria para inducir un movimiento de 1 mm en el codal, siempre perpendicularmente a la pantalla).

La imagen siguiente muestra un extracto del programa CYPE donde se sintetizan las cotas, fases de activación y desaparición, rigideces y separaciones de 3 niveles de codales para un caso real. La separación de 1 m se debe a que el análisis toma una rebanada unitaria, no a que ese sea el espaciamiento real entre codales.

Análogamente, la imagen de debajo presenta un listado del programa RIDO de otro caso real. Sin entrar en detalles, las fases 17 y 18 corresponden a la activación de un acodalamiento de tipo celosía de 2 m de brazo mecánico (nuestro Granshor 2), de tal manera que los dos niveles de contención se ubican a las cotas 10,85 y 8,85 para un terreno a 0,60 m por debajo del eje del cordón inferior (ver fase 14). Las rigideces de ambos cordones son de 3.000 toneladas por metro de movimiento y por metro lineal de pantalla (~30 kN/mm o 30 MN/m por metro de muro). El acodalamiento se desactiva en las fases 28 y 29.

En el ejemplo anterior, la losa de solera (fase 22) y los forjados de sótano (fases 24 y 26) también se definen como codales de rigidez 500.000 toneladas por metro de movimiento y por metro lineal de pantalla. O sea, 166 veces más que los codales, un artificio para simular una rigidez altísima.

Umbral de rigidez de los codales en el análisis de contenciones de excavaciones

La rigidez de los codales condiciona tanto el empuje del terreno en cada nivel de acodalamiento, como los esfuerzos y movimientos en el propio muro o en su vecindad (caso de elementos sensibles). Cuanto más rígido sea el codal, mayor proporción del empuje absorberá y menores serán los esfuerzos y movimientos en el muro. Para un terreno y una pantalla determinados, existe un umbral de rigidez de los codales por debajo del cual la aptitud del muro no es válida según las exigencias del proyecto (verificaciones en ELU y ELS). Ese es el punto que hay que saber identificar durante el diseño para no encarecer innecesariamente el acodalamiento. Rigideces superiores no aportan a la mejora de un muro ya diseñado o ejecutado y sólo sirven para que el acodalamiento sea más costoso. Valores excesivos de rigidez sólo sirven para que la solicitación en el muro esté cada más por debajo de lo estricto.

A título cualitativo, la gráfica de debajo ejemplifica tal concepto.

De la noción de umbral de rigidez se desprende la necesidad de emplear valores de rigidez de los codales en sintonía con las secciones y separaciones típicas de acodalamientos: valores de área entre 50 y 250 cm2 y separaciones entre 4 y 8 m.

Ejemplo 1 de estudio de sensibilidad

En la imagen de más arriba de un modelo con CYPE, se toma una rigidez de 20.000 t/m (~200 MN/m) por metro de pantalla. Para un codal de 10 m (longitud eficaz 5 m), con espaciamiento 6 m y orientado en perpendicular al muro, el área necesaria sería:

210·A(mm2)/5=200.000·6àA=28.571 mm2=285,7 cm2 por cada 6 m (o 238 cm2 cada 5 m, o 190 cm2 cada 4 m). Eso equivaldría a doble HEB300 cada 6 m (o HEB400 cada 4 m, o nuestro Pipeshor 6 cada 5 m). ¿Está tal acodalamiento sobredimensionado? Viendo que una disposición razonable correspondería a un codal Pipeshor 6 cada 5 m, y que tal sistema resulta óptimo entre los 15 y 24 m de longitud, no parece idóneo que tal codal se emplee en elementos de 10 m. Tal conclusión nos permitiría entrar a debatir con el proyectista de las pantallas si esa rigidez es verdaderamente necesaria, o si pudiera relajarse sin alterar el diseño de la contención.

En cambio, para 30 m de codal, la misma rigidez por metro lineal de pantalla se traduce en 857,1 cm2 cada 6 m, o 714,25 cm2 cada 5 m, o 571,4 cm2 cada 4 m. Cualquiera de estas opciones es incompatible con las secciones típicas de codales, ni a base de perfilería comercial, ni mediante sistemas modulares (al menos en España). Dicho de otra forma, codales de 30 m con tal rigidez serían antieconómicos y un diseño de pantallas que usase esos valores sería cuestionable conceptualmente. Si, para complicar las cosas, los codales inciden a 45º contra el muro, entonces el área necesaria se duplica para compensar el efecto de [sen(a)]^2.

Como anécdota, ese caso correspondía a una obra con codales de más de 40 m atacando con unos 40º. Tras un estudio de sensibilidad recomendado por INCYE, el proyectista concluyó que rigideces de la décima parte en el primer nivel y la quinta parte en el intermedio e inferior no modificaban la respuesta en el muro: así se estableció el umbral de rigidez y se pasó de un acodalamiento imposible a uno muy diáfano.

Ejemplo 2 de estudio de sensibilidad

Otro caso más sofisticado es el análisis mediante PLAXIS (elementos finitos) de los movimientos y tensiones en un túnel de metro existente cerca de un muro de contención destinado a una excavación. La empresa a cargo del estudio estableció la mínima rigidez imprescindible en el acodalamiento para que el túnel no se viese afectado, según unos parámetros de aptitud. En la imagen de debajo se aprecia el mapa de movimientos horizontales para el escenario de rigidez mínima admisible en los codales, con valores del orden de 20 mm en el muro y unos 4 mm en el hastial del túnel más cercano a la excavación.

Para tal escenario, el programa también facilita el mapa de tensiones principales, que en el caso del túnel alcanzan los 3,50 MPa de compresión y menos de 0,10 MPa de tracción, valores juzgados aceptables para el hormigón del túnel.

Limitaciones a los modelos planos con rigidez uniformemente distribuida

Los ejemplos anteriores muestran la práctica habitual en análisis de pantallas. Se trata de una forma sencilla de incorporar los codales, si bien se hace preciso advertir que trabajar con valores de rigidez promedio por metro lineal de pantalla omite un fenómeno físico real: el muro es un elemento bidimensional que se deforma más entre codales que lo preconizado por estos modelos simplificados. En términos coloquiales, el muro tiene panzas por flexión entre codales, en las cuales se producen movimientos y esfuerzos no captados por los modelos planos de tipo viga (rebanada unitaria de muro) apoyada en muelles (codales y forjados) con flexión única de eje horizontal. Lo riguroso sería realizar un modelo tridimensional de la excavación simulando el terreno (como elemento de presión y de reacción), el muro (pantalla, pilotes o micropilotes) y los codales con sus propiedades reales. No se trata de una práctica habitual, pero sí resulta riguroso.

En la imagen de debajo se recogen algunas capturas de un estudio más fino donde el terreno se modeló, por un lado, como una serie de muelles reactivos (sólo en compresión) a partir de su módulo de balasto, y por otro, como acción (empuje). El muro se trató como un elemento continuo y nuestros codales, como barras.

Análisis avanzados con interacción entre codales, muro y terreno

Como ya ha quedado de manifiesto, el manejo de rigideces de acodalamientos a partir de valores típicos del mercado permite no sólo mayor finura en el diseño, sino también la toma de decisiones en proyectos de vanguardia donde se va a practicar un control esmerado de esfuerzos, movimientos y fisuraciones.

Las variaciones térmicas en los codales suelen abordarse mediante la óptica tradicional de los esfuerzos de empotramiento perfecto. Es decir, la compresión que aparece en el codal cuando se dilata y sus extremos están totalmente coartados longitudinalmente. Tal hipótesis es conservadora, no cabe duda, pero puede repercutir en esfuerzos axiales elevadísimos. Por cada 10 grados y 100 cm2 de sección, el esfuerzo característico de coacción total es de N=E·A·a·DT=210 kN/mm2·100 cm²·1,2·10-5 ºC^-1·10ºC= 252 kN. Si un codal se instala en una localidad de clima extremo como Madrid en enero o febrero y se retira en septiembre, una duración poco habitual, puede darse un salto de más de 40 grados en el metal. Para un área típica de 200 cm², el axil de empotramiento perfecto sería de 40/10×200/100×252=2.016 kN (valor característico; aplicar g_Q=1,50 al tratarse de una acción variable). Para un codal tubular de 8 m o más y esa sección, este efecto ya provocaría el agotamiento por interacción axil-flector sin ni siquiera llegar a considerar el empuje del terreno.

Parece lógico tratar de analizar mejor ese fenómeno mediante la interacción de terreno, muro y codal según la rigidez de cada cual. Estudios de sensibilidad en modelos de elementos finitos como el de las imágenes anteriores, así como datos empíricos procedentes de monitorización de codales, arrojan como conclusión que el efecto neto en el codal suele estar entre el 20% y el 40% del valor teórico de empotramiento perfecto. Cuanto más débiles son el terreno y el muro en comparación con el codal, más tiende éste a la dilatación sin coacción y menor es el esfuerzo axial por efecto térmico.

Por ejemplo, en este artículo (aquí), se mide la variación de axil por efecto térmico en codales de longitudes y secciones muy similares a los nuestros, concluyéndose que el efecto neto registrado varía entre el 5% y el 30% del correspondiente a la hipótesis de empotramiento perfecto. Los diferentes modelos numéricos empleados no parecen ser muy fiables en comparación con la realidad, pero arrojan resultados del mismo orden y muy rara vez superiores al 50%.

En esta otra comunicación (aquí), las mediciones apuntan a que el efecto térmico real es un 14% del correspondiente al de coacción total. De hecho, muros discontinuos (de bataches) son menos rígidos aún y el efecto neto de la dilatación se disipa aún más.

Otra situación que requiere un análisis de detalle del balance de rigideces entre elementos es la aplicación de precargas mediante equipo hidráulico en codales, con el fin de eliminar holguras en las juntas entre segmentos del codal (y, con ello, movimientos espurios) así como inducir en el muro una predeformación medible contraria a la que el empuje del terreno causará, ayudando así a paliar posibles fisuraciones. Es la misma idea que el pretensado de vigas, pero comprimiendo codales en vez de tesando cables.

Precisamente, en el modelo global citado un poco más arriba, se estimaron las precargas necesarias en cada codal para alcanzar unos determinados objetivos de esfuerzos y movimientos en el muro. Dichas presolicitaciones oscilaban entre 50 y 200 kN.

El equipo de ingeniería responsable del modelo introdujo las precargas como deformaciones unitarias impuestas en los codales (o sea, como dilataciones). Para ello, procedió mediante tanteos iterativos hasta que el estado de carga en los codales, teniendo en cuenta la movilización de rigidez de todo el sistema (añadiendo muro y terreno), fuera el deseado.

A modo de ejemplo, en los dos codales resaltados en un recuadro de la imagen anterior se estipula una precarga de 50 kN, para lo cual las deformaciones impuestas son de 2,36·10^-4 y 3,12·10^-4 (equivalentes a dilataciones 19,67 y 26 ºC). No sólo son valores diferentes para obtener la misma precarga de 50 kN, sino que tal deformación impuesta no se traduce directamente en carga en el codal, según la óptica de empotramiento perfecto. Es decir, para un área de casi 200 cm² en esos elementos, los axiles de coacción total serían de 991 kN y 1.310 kN respectivamente (ver explicación más arriba, en la parte de efectos térmicos). La caída hasta 50 kN se debe a que muro y terreno absorben, por medio de su rigidez, parte del movimiento asociado a tales deformaciones impuestas.

Conectando con el desarrollo anterior sobre el efecto térmico, estamos viendo que este modelo global arroja como resultado que, para esos dos codales, el grado de coacción sería de 50/991=5,05% y 50/1310=3,82%. Dicho de otra forma, el efecto térmico sería muy poco significativo porque los codales son comparativamente más rígidos que el muro y el terreno.

Semejantes conclusiones, nada evidentes a primera vista ni con modelos planos, resaltan la importancia de entender el concepto y utilidad de la rigidez de los codales, así como la necesidad de adecuar la finura de los modelos de análisis a la exigencia en el control de la respuesta real en el muro. No tiene sentido plantear modelos burdos para luego desplegar sistemas de monitorización y obtener resultados dispares, difíciles de contrastar con los modelos de partida, e inconcluyentes a la hora de tomar decisiones.

Jorge Nebreda Sánchez

Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos

Nota: la mención a programas comerciales es en aras de la claridad expositiva y para informar a los lectores sobre el estado de la técnica, a partir de nuestra experiencia como especialistas en acodalamientos. INCYE no promueve ni proscribe el uso de programas de cálculo concretos, ni percibe contraprestaciones por citarlos en esta publicación.